Penerapan Fungsi Turunan dalam Matematika Bisnis
Turunan atau dalam matematika ekonomi lebih dikenal dengan differensial merupakan suatu fungsi yang menggunakan beberapa rumus yang diawali dengan turunan pertamanya, yang digambarkan dengan fungsi sebagai berikut :
y = f(x)
dy / dx = y’ = f’(x)
Untuk menerapkan fungsi turunan di atas ke dalam mikro ekonomi, maka fungsi tersebut dikembangkan ke dalam beberapa rumus-rumus differensial sebagai beberapa contoh di bawah ini :
- 1. Turunan Fungsi
y = cx2
dy / dx = c . n . x n-1
Contoh :
a. y = x5
dy / dx = 5 x 4
b. y = x
dy / dx = 1
- 2. Turunan suatu konstanta
y = c
dy / dx = 0
- 3. Turunan suatu jumlah
y = u + v
d (u + v) / dx = u’ + v’
Contoh :
a. y = x3 + x -1/2 + 3
dy / dx = 3x2 -1/2 x -3/2
b. y = 8x3 + 2x
dy / dx = 24x2 + 2
- 4. Turunan suatu hasil kali
Jadi,
y = u . v
dy / dx = uv’ + vu’
Contoh :
y = (x + 2) (2u + 1)
y = 4x + 5
- 5. Turunan hasil bagi
y = u / v
dy / dx = vu’ – uv’ / v2
Contoh :
y = (2x2 + x) / (x3 + 3)
dy / dx = (x3 + 3)(4x + 1)-(2x2 + 1)(3x2) / (x3 +3)2
dy / dx = -2x4 – 2x3 + 12x +3 / (x3 + 32)2
- 6. Turunan berantai
Contoh :
y = (x2 + 3x + 1)3
f(x) = (x2 + 3x + 1) maka f’(x) = 2x + 3
dy / dx = (x2 + 3x + 1)3 . (2x + 3)
atau gunakan rumus berikut ini,
y = f(u)
dy / dx = dy / du . du / dx
Contoh :
y = (x2 + 3)3
Misalnya, u = x2 + 3, maka
du / dx = 2x
y = u3
dy / du = 3u2
Jadi, dy / dx = 3u2(2x)
dy / dx = 3(x2 + 3)2(2x)
Fungsi turunan juga dapat dikembangkan menjadi beberapa rumus yang lain diantaranya sebagai berikut :
- Fungsi Logaritma Biasa
- y = log x
- y = log u
Catatan :
10 log e = 1/e log 10 = 1/ln10
Contoh :
y = log 8x
y = log 8 + log x
dy / dx = 0 + 1/x log e = 1/x log e
- d(log u) = 1/u log e du / dx
y = 3 log (4x + 1)2
dy / dx = log 3 + 2 log (4x + 1)
- Fungsi Logaritma Natural
- y = ln x
Catatan :
ln e = e log e = 1
Contoh :
y = ln x3
y = 3 ln x
dy / dx = 3 . 1/x ln e
dy / dx = 3/x
- y = ln u
Contoh :
y = ln (4x-3)
dy / dx = 1/(4x-3) . 4
dy / dx = 4/(4x-3)
- Fungsi Eksponen
Differensial log, jika diketahui y = xx maka fungsi tersebut di ubah terlebih dahulu dalam bentuk log.
ln y = x ln x
1/y . dy / dx + x. 1/x + ln x . 1
1/y . dy / dx = 1 + ln x
dy / dx = x x(1+ln x)
- Turunan Pembagian Suatu Konstanta dengan Fungsi
Misalnya,
y = c / v , dimana v = h(x)
dy / dx = (-c . dv / dx)/v2
- Turunan Kedua
Turunan kedua dari fungsi y = f(x) adalah turunan dari turunan pertamanya yang dikonotasikan sebagai berikut :
d2y / (dx)2 atau y”
Contoh :
Diketahui y = 2x5
y’ = 2 . 5x 5-1
= 10 x4
y” = 10 . 4x 4-1
= 40 x 3
Penerapan Fungsi Turunan dalam Mikro Ekonomi
- 1. Biaya Marginal (Marginal Cost atau MC)
MC adalah turunan pertama dari biaya total (Total Cost) = TC.
MC = TC’ = dTC / dQ
Contoh :
C = 4 + 2Q + Q2
MC = …
Jawab :
MC = C’
= 2 + 2Q
Maka, TC minimum tercapai pada saat MC = 0 dan MC minimum tercapai pada saat MC’ = 0.
- 2. Penerimaan Marginal (Marginal Revenue = MR)
MR adalah turunan pertama dari total penerimaan (TR) dimana TR = P . Q
MR = TR’ = dTR / dQ
TR maksimum pada saat MR = 0
Contoh soal :
Fungsi permintaan D = P = -3Q2 + 27, hitunglah fungsi penerimaan dari MR.
TR = P . Q
= (-3Q2 + 27)Q
= -3Q3 + 27Q
MR = -9Q2 + 27
- 3. Produk Marginal (Marginal Product = MP)
MP merupakan turunan pertama dari fungsi produk total (P).
MP = P’ = dP / dx
x = jumlah input
MP maksimum tercapai pada saat Q mengalami titik belok dan P mengalami titik P” = 0.
P maksimum pada saat MP = 0.
Contoh soal :
P = f (x)
= 9x2 – x3
Jadi, MP = 18x – 3x2
P maksimum, MP = 0
0 = 18x – 3x2
0 = 3x(6-x)
x = 6
P maksimum = 9 (6)2 – (6)3 = 108
- 4. Kegunaan Marginal (Utility Marginal = MU)
MU merupakan turunan pertama dari fungsi kegunaan (U).
U = f(Q)
MU = U’ = dU / dQ
U maksimum pada saat MU = 0
Contoh :
U = f(Q)
= 90Q – 5Q2
MU = 90 – 10Q
U maksimum, MU = 0
0 = 90 – 10Q
Q = 9
U = 90Q – 5Q2
= 90 (9) – 5 (9)2
= 810 – 405
= 405
- 5. Analisis Laba Maksimum
π = TR – TC
Syarat π maksimum yaitu :
- π’ = 0, turunan pertama dari π = 0 atau MR = MC.
- π” < 0 atau MR’ < MC’.
makasih materi diferensialnya hoho , kalau pendapatan maksimum itu rumusnya yg mana ya ?
BalasHapusMy College Note'S Blog (All About Accounting): Matematika Bisnis (Diferensial Fungsi) >>>>> Download Now
BalasHapus>>>>> Download Full
My College Note'S Blog (All About Accounting): Matematika Bisnis (Diferensial Fungsi) >>>>> Download LINK
>>>>> Download Now
My College Note'S Blog (All About Accounting): Matematika Bisnis (Diferensial Fungsi) >>>>> Download Full
>>>>> Download LINK